Combinação Simples

Combinação Simples


Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:



Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois:

Permutação Simples

Permutação Simples

Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!.

n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1

Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24

Exemplo 1

Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?

Resolução:

Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.

P = 4! = 24

Arranjo Simples

Arranjo Simples

Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são:

312, 321, 132, 123, 213, 231

Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E é considerado simples, pois os elementos não se repetem.

Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:

Neste mesmo exemplo, utilizando a fórmula temos:

Tipos de Agrupamento

Tipos de Agrupamento

Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum). 
Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidência. 
Observe no exemplo a seguir: 

4x² + 8x + 6xy + 12y 
Termo comum em evidência em cada agrupamento: 4x² + 8x (8 = 4*2) e 6xy + 12y(12 = 6*2) 
4x(x + 2) + 6y(x + 2) 
Colocamos novamente em evidência, pois os termos 4x e 6y possuem termos em comum. 
(4x + 6y) (x + 2) 

Observe mais alguns exemplos de fatoração por agrupamento: 

Exemplo 1 
2xy – 12x + 3by – 18b 
2x(y – 6) + 3b(y – 6) 
(2x + 3b)( (y – 6)

Fatorial

Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!.

Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.

5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a 3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.

Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.

Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, mas note que também podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!, 3! e 2!:

1. 5! = 5 . 4!
2. 5! = 5 . 4 . 3!
3. 5! = 5 . 4 . 3 . 2!

Para um fatorial genérico temos:

n! = n . (n - 1)!  =  n . (n - 1) . (n - 2)!  =  n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!

Observe atentamente os exemplos seguintes:

1. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
2. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
3. (n + 1)! = (n + 1) . n!

Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para termos uma visão mais clara destas sentenças:

1. 9! = 9 . 8!
2. 9! = 9 . 8 . 7!
3. 7! = 7 . 6!

Estes conceitos são utilizados em muitos dos problemas envolvendo fatoriais.

Observe a fração abaixo:

Vimos que 5! é equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!. Então podemos escrever a fração da seguinte forma:

Agora podemos simplificar o 3! do numerador com o 3! do denominador. Temos então:

Princípio Aditivo da Contagem

                                

  Princípio Aditivo

             Suponha que você tenha três conjuntos A, B e C, três conjuntos disjuntos.  O conjunto A tem 5 elementos, B tem 4 e C tem 3. Existem 5 possibilidades de escolher um elemento do conjunto A. Da mesma forma, para escolher um elemento dos conjuntos B e C os números de possibilidades serão 4 e 3, respectivamente. A escolha de um único elemento, seja ele de A, ou de B ou de C, o número de possibilidades é 5 + 4 + 3 = 12. 

Note que, a ocorrência de um dos eventos não está condicionada à ocorrência do evento anterior. 

Assim é que se pode concluir: 

         “se existem m₁ possibilidades de ocorrer um evento E₁, m₂ possibilidades de ocorrer um evento E₂ e m₃ para ocorrer o evento E₃, o número total de possibilidades de ocorrer o evento E₁ ou o evento E₂ ou o evento E₃,  será de m₁ + m₂ + m₃ “   desde que os eventos não apresentem elementos comuns.

          

A afirmação acima é denominada PRINCÍPIO ADITIVO DE CONTAGEM, e que pode ser estendido para qualquer quantidade de eventos. O conectivo que caracteriza a aplicação do princípio aditivo da contagem é o conectivo ou, que conforme já foi visto está associado à união de conjuntos.

          Seja então os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Considerando os eventos E₁ = número de A, menor que 7 e E₂ = número par pertencente a A, ter-se-á:

- E₁ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. O número de possibilidades de escolher o evento E₁ é igual a 6 pois E₁ tem 6 elementos.

- E₂ = {2, 4, 6, 8, 10}. O número de possibilidades de escolher o evento E₂ é igual a 5 pois E₂ tem 5 elementos.

          Entretanto, o número de possibilidades de escolher um número menor que 7 ou par pertencente ao conjunto não será igual a 11 (= 6 + 5) e sim igual a 8 pois os elementos 2, 4 e 6 são repetidos nos dois eventos.

Neste caso, o número de eventos será n(E₁ ou E₂) = n(E₁) + n(E₂) -n(E₁ Ç E₂) = 6 + 5 - 3 = 8, onde n representa o numeral dos conjuntos indicados (quantidade de elementos do conjunto).

Principio Fundamental da Contagem

        

Principio fundamental da contagem

Se um acontecimento A pode ocorrer de n maneirasdistintas e um acontecimento B ocorrer de n maneiras distintas, então a quantidade de possibilidades de ocorrência de acontecimentos A e B é dada pelo produton.m.

Exemplo 1- 

Julia quer comprar um novo carro, e quer se decidir quanto ao modelo e a cor do seu novo carro. Na concessionária onde Julia foi há 3 tipos de modelos que são de seu interesse: Gol, Siena e Astra, tendo cada carro 5 modelos de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata.

Qual é o número total de opções que Julia poderá fazer?

Resolução:

Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Julia tem 3×5 opções para fazer, ou seja, ela poderá escolher 15 

carros diferentes.

 Representado as 15 opções na árvore de possibilidades:

                                                     Exemplo 2:

Renato levou em uma viagem 3 calças, 2 pares de sapatos e 4 camisas. De quantas maneiras distintas ele pode se vestir, usando uma calça, um par de sapatos e uma camisa?

Podemos responder essa pergunta construindo a ‘‘árvore das possibilidades”

3, 2, 4 = 24

Quantos números de três algarismos distintos podem formar com os algarismos 1, 3, 5, 7, 9,…?

O número formado é composto de 3 ordens: centena, dezena, unidade. Na ordem das centenas, temos 5 possibilidades. Como os algarismos devem ser distintas, na ordem das dezenas temos 4 possibilidades e na ordem das unidades temos 3.

5/C . 4/D . 3/U =60 nºs

Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 podemos formar quantos números de 4 algarismos?

O número formado terá 4 ordens.

de = 6. 7. 7.7 = 2058 Nºs